怎樣才能使一條繩子圍出最大矩形面積?

假設：

• 繩長是 L。
• 圍出的矩形面積是 A。
• 圍出矩形的寬度是 W，長度是 H。

可以得出：

• 2 * (W + H) = L
• W > 0 且 H > 0
• A = W * H

從 2 * (W + H) = L 式子，可簡化為：

• W + H = L/2
• H = L/2 – W

那麼面積 A 就變為：

• A = W * H
• A = W * (L/2 – W)
• A = -W^2 + (L/2) * W
• f(W) = -W^2 + (L/2) * W

這 f(W) 就是一條對於 W 變元，開口向下的拋物線。
要想讓 A=f(W) 值最大，也就是這條上拋物線的 “頂點"。
也就是說 在 “頂點" 時其 斜率 = 0。

為求出切線公式, 我們對 W 變元微分 (以 dA/dW 表示)，得到：

• f(W) = -W^2 + (L/2) * W
• df/dW = -2 * W + L/2 = 0
• 2 * W = L/2
• W = L/4 (繩長的 1/4)

而 H = L/2 – W = L/2 – L/4 = L/4  (繩長的 1/4)
因此：max A = (L/4) * (L/4) = L^2 / 16

那麼一條繩子能圍出最大面積又是何種圖形呢？討論如下：