怎樣才能使一條繩子圍出最大矩形面積?

2009-06-02

假設:

  • 繩長是 L。
  • 圍出的矩形面積是 A。
  • 圍出矩形的寬度是 W,長度是 H。

可以得出:

  • 2 * (W + H) = L
  • W > 0 且 H > 0
  • A = W * H

從 2 * (W + H) = L 式子,可簡化為:

  • W + H = L/2
  • H = L/2 – W

那麼面積 A 就變為:

  • A = W * H
  • A = W * (L/2 – W)
  • A = -W^2 + (L/2) * W
  • f(W) = -W^2 + (L/2) * W

這 f(W) 就是一條對於 W 變元,開口向下的拋物線。
要想讓 A=f(W) 值最大,也就是這條上拋物線的 “頂點"。
也就是說 在 “頂點" 時其 斜率 = 0。

為求出切線公式, 我們對 W 變元微分 (以 dA/dW 表示),得到:

  • f(W) = -W^2 + (L/2) * W
  • df/dW = -2 * W + L/2 = 0
  • 2 * W = L/2
  • W = L/4 (繩長的 1/4)

而 H = L/2 – W = L/2 – L/4 = L/4  (繩長的 1/4)
因此:max A = (L/4) * (L/4) = L^2 / 16

那麼一條繩子能圍出最大面積又是何種圖形呢?討論如下:

多邊形面積討論

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